Что открыл эратосфен

биография

Первые годы

Эратосфен родился примерно в 276 г. до н.э. в Кирене, греческом городе, расположенном в Северной Африке, на территории, которая сейчас является территорией Ливии

Он был сыном Аглауса, о котором не ведется никаких исторических записей, поэтому считается, что он не был из важной семьи в то время

Несмотря на то, что Эратосфен не имел выдающегося происхождения, он приехал из города, который получил признание людей, которые родились в нем. Кирена была основана греками Теры до 600 г. до н.э. и процветала как независимый город до прихода эллинской эры..

Кирена была поглощена Птолемейской монархией Египта, которая управляла Александрией, культурным и торговым центром Средиземноморья. Был большой книжный магазин, музей и школа повышения квалификации.

Эратосфен пошел по стопам других ученых в своем городе и обучался у Лисании, эксперта по грамматике. Несмотря на то, что в греческие времена молодые люди из богатых семей имели больший доступ к образованию, для мужчин существовали академии.

Дети с семи лет обучались таким предметам, как литература, спорт и музыка. Считается, что Эратосфен также мог быть учеником Каллимах.

Афины

Основным интересом Эратосфена к юности была философия, и это призвание привело его в Афины в возрасте 15 лет. Там он оставался примерно 25 лет. Затем он подготовил и приобрел известность как академический.

В Афинах он нашел так много философов, что он был поражен и поражен. Сначала он учился у Зенона в школе стоиков. Также с одним из его учеников, Аристоном де Хиосом, из которого он написал биографию. Но он не нашел в них стиля, который ему нравился.

Затем он присоединился к платоникам как ученик Арцесилао. Именно тогда Эратосфен создал произведение под названием Platonicus, в которой, следуя методу Платона, он исследовал математические и космологические темы. В то время он также написал Пери Агатōн кай какōN, текст, который был потерян.

После этих переживаний он разочаровался в философии и решил посвятить себя поэзии. Так началась слава Эратосфена, так как в своей новой области он добился признания, которого хотел.

Тексты не сохранились от его первых произведений в качестве поэта; однако некоторые имена передавались потомкам в цитатах других греков. Гермес это была одна из его работ, в которой он обратился к жизни бога, а другой взял по имени Эригона.

Александрия

Считается, что именно слава Эратосфена как поэта привлекла внимание Эвергетеса Птолемея III, который призвал его в Александрию, чтобы он занялся репетиторством своего сына, а также предложил ему должность директора городской библиотеки.. Птолемей III был тронут не только интересом к работе Эратосфена, но и политическими соображениями

Город Кирена прошел независимый период Египта до брака между Птоломео III и Беренис, дочерью Магаса, губернатора этого города

Птолемей III был тронут не только интересом к работе Эратосфена, но и политическими соображениями. Город Кирена прошел независимый период Египта до брака между Птоломео III и Беренис, дочерью Магаса, губернатора этого города.

В поисках защиты своего недавно восстановленного домена Птолемей III видел, как хорошо удовлетворить жителей Кирены, предлагая Эратосфену такую ​​же должность, как глава великой Александрийской библиотеки..

В период, когда Эратосфен руководил Александрийской библиотекой, в ней были достигнуты большие успехи. Приобретенные произведения, такие как великие драмы Эсхила и Еврипида. Они также расширили исследования в Софокла.

В эту эпоху Эратосфен воспользовался своим положением и доступом к информации, которую ему пришлось изучать по самым разным предметам. Однако он никогда не хотел специализироваться на одном предмете, поэтому некоторые упрекали его.

смерть

Эратосфен умер в Александрии, около 194 г. до н.э., когда ему было 82 года. Некоторое время назад он ослеп в результате катаракты и, как полагают, совершил самоубийство от голода.

Несмотря на его большой вклад в науку, его работа не была воспроизведена многими другими, по-видимому, потому что у него не было достаточно студентов, чтобы передать свои открытия и теории.

Тем не менее, его вклад в изучение земли дал ему титул отца географии. В течение своей жизни Эратосфен был любителем знаний во всех областях.

Суша размером с ладонь

Эратосфен первым высказал предположение, что если плыть от берегов Иберии (современной Испании) на запад, то можно достичь Индии.

Однако позже эта мысль показалась ученому безумной: он был убежден, что никто и никогда подобного не сделает, ибо «громадные размеры океана, окружающего нашу ойкумену, не позволят», — и ошибся. Его утверждение через множество столетий заставило задуматься Христофора Колумба, который бросил все и отправился на поиски Индии западным путем.

Карта Эратосфена: желтым цветом обозначена суша, голубым ― Мировой океан

Рассуждения о том, что представляет собой Земля, населенная людьми, Эратосфен подкрепил географической картой. Мир у ученого получился крохотным. В нем не было привычных нам Америки и Австралии. Эратосфен даже не мог предположить, что эти земли откроют лишь спустя 1,5 тыс. лет! Зато он весьма точно изобразил берега Средиземного моря, Персию, Скифию, чего до него никто никогда не делал. Кроме того, Эратосфен расчертил карту чем-то похожим на параллели и меридианы, а также показал контуры материков, обозначил горные хребты, реки, города и другие объекты.

Поделиться ссылкой

дальнейшее чтение

• Aujac, Г. (2001). Eratosthene de Cyrène, le pionnier de la géographie . Париж: Издательство CTHS. 224стр.
• Балмер-Томас, Айвор (1939–1940). Избранные, иллюстрирующие историю греческой математики . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.
• Дорофеева А.В. (1988). «Эратосфен (ок. 276–194 до н. Э.)». Мат. В школе (4): I.
• Ельнатанов Б.А. (1983). «Краткий очерк истории развития сита Эратосфена». Истор.-мат. Исслед. (на русском). 27 : 238–259.
• Фрейзер, PM (1970). «Эратосфен Киренский». Труды Британской академии . 56 : 175–207.
• Фрейзер, PM (1972). Птолемеев Александрия . Оксфорд: Clarendon Press.
• Хонигманн, Э. (1929). Die sieben Klimata und die πολεις επισημοι . Eine Untersuchung zur Geschichte der Geographie und Astrologie in Altertum und Mittelalter. Гейдельберг: Университет Карла Винтера. 247 с.
• Кнаак, Г. (1907). «Эратосфен». Поли-Виссова VI : 358–388.
• Манна, Ф. (1986). «Пентатлос древней науки, Эратосфен, первый и единственный из« простых чисел ». Atti Accad. Понтаниана . Новая серия (на итальянском языке). 35 : 37–44.
• Muwaf, A .; Филиппу, А.Н. (1981). «Арабский вариант письма Эратосфена о средних пропорциях». J. Hist. Arabic Sci . 5 (1–2): 147–174.
• Никастро, Николас (2008). . Нью-Йорк: Издательство Св. Мартина. ISBN 978-0-312-37247-7.
• Маркотт, Д. (1998). «La Climatologie d’Ératosthène à Poséidonios: genèse d’une science humaine». Дж. Арго, Дж. Я. Гийомен (ред.). Науки точные и прикладные науки в Александрии (III siècle av JC — Ier ap JC) . Сент-Этьен: Publications de l’Université de Saint Etienne: 263–277.
• Пфайффер, Рудольф (1968). . Оксфорд: Clarendon Press.
• Роулинз, Д. (1982). «Карта Эратосфена — Страбона Нила. Является ли это самым ранним сохранившимся экземпляром сферической картографии? Предоставляла ли она дугу 5000 стадиев для эксперимента Эратосфена?». Arch. Hist. Exact Sci . 26 (3): 211–219.
• Rosokoki, A. (1995), Die Erigone des Eratosthenes. Eine kommentierte Ausgabe der Fragmente , Гейдельберг: C. Winter-Verlag
• Щеглов, Д.А. (2004/2006). «Система семи климатов Птолемея и география Эратосфена». Geographia Antiqua 13 : 21–37.
• Страбон (1917). География Страбона . Гораций Леонард Джонс, пер. Нью-Йорк: Патнэм.
• Таламас, А. (1921). Географ д’Эратостен . Версаль.
• Вулфер, EP (1954). Эратосфен фон Кирена как Mathematiker und Philosoph . Гронинген-Джакарта.

Описание [ править ]

Кратер имеет четко очерченный круглый край, внутреннюю стену, центральные горные вершины, неровный пол и внешний извержения. У него нет собственной лучевой системы , но на него попадают лучи от выдающегося кратера Коперник на юго-западе.

Эратосфенский период период в лунной геологической шкале времени назван в честь этого кратера, хотя он не определяет начало этого периода времени. Считается, что кратер образовался около 3,2 миллиарда лет назад.

Под низкими углами наклона Солнца этот кратер выделяется из-за тени, отбрасываемой краем. Однако, когда Солнце находится прямо над головой, Эратосфен визуально сливается с окружающей средой, и наблюдателю становится труднее определить его местонахождение. Лучи Коперника проходят через эту область, и их более высокое альбедо служит своего рода маскировкой .

В 1851 году шропширский астроном Генри Блант построил модель поверхности Луны с изображением Эратосфена. Модель основана на наблюдениях, сделанных Блантом с помощью телескопа-рефлектора из его дома в Шрусбери, и в том же году была показана на Большой выставке в Лондоне.

В 1910–1920-х годах Уильям Х. Пикеринг заметил темные пятна в кратере, которые регулярно менялись в течение каждого лунного дня. Он выдвинул гипотезу о том, что эти пятна мигрируют по поверхности, что наводит на мысль о стадах малых форм жизни

Идея привлекла внимание прежде всего из-за репутации Пикеринга.

Детальная карта особенностей Mare Imbrium. Эратосфен отмечен буквой «L».

На страже знаний

Узнать о том, что открыл Эратосфен в географии, 7 классу будет интересно еще и потому, что этот ученый по праву считается одним из мужей, кто своими усилиями оформил целый ряд научных направлений и отраслей знаний, которые способствовали славе Александрийской библиотеки.

Например, именно при Эратосфене в библиотеке были созданы целые отделы, сотрудники которых занимались переписью и изучением великих греческих поэтов, таких как Эсхил, Софокл, Еврипид и, конечно, Гомер.

Столь широкий круг интересов и неудержимая энергия стали причиной присвоения Эратосфену нескольких почетных прозвищ, наиболее расхожими среди которых были «пятиборец», что указывало на его всестороннюю развитость, и «бета», которое свидетельствовало о глубочайшем почтении, которое современники испытывали к великому филологу, признавая за ним статус настолько высокий, что опережал его лишь Платон.

Таблица простых чисел

Простые числа, для удобства их дальнейшего использования, записывают в таблицу, которую называют таблицей простых чисел. Ниже представлена таблица простых чисел до 1 000.

Возникает логичный вопрос: «Почему мы заполнили таблицу простых чисел только до 1 000, разве нельзя составить таблицу всех существующих простых чисел»?

Ответим сначала на первую часть этого вопроса. Для большинства задач, при решении которых придется использовать простые числа, нам будет вполне достаточно простых чисел в пределах тысячи. В остальных случаях, скорее всего, придется прибегать к каким-либо специальным приемам решения. Хотя, несомненно, мы можем составить таблицу простых чисел до сколь угодно большого конечного целого положительного числа, будь то 10 000 или 1 000 000 000, в следующем пункте мы поговорим о методах составления таблиц простых чисел, в частности, разберем способ, получивший название .

Теперь разберемся с возможностью (а точнее с невозможностью) составления таблицы всех существующих простых чисел. Мы не можем составить таблицу всех простых чисел, потому что простых чисел бесконечно много. Последнее утверждение представляет собой теорему, которую мы докажем после следующей вспомогательной теоремы.

Теорема.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Доказательство.

Пусть a – натуральное число, большее единицы, и b – наименьший положительный и отличный от единицы делитель числа a. Докажем, что b – простое число методом от противного.

Предположим, что b – составное число. Тогда существует делитель числа b (обозначим его b₁), который отличен как от 1, так и от b. Если также учесть, что абсолютная величина делителя не превосходит абсолютной величины делимого (это мы знаем из свойств делимости), то должно выполняться условие 1<b₁<b.

Так как число a делится на b по условию, и мы сказали, что b делится на b₁, то понятие делимости позволяет говорить о существовании таких целых чисел q и q₁, что a=b·q и b=b₁·q₁, откуда a= b₁·(q₁·q). Из правил умножения целых чисел следует, что произведение двух целых чисел есть целое число, тогда равенство a=b₁·(q₁·q) указывает на то, что b₁ является делителем числа a. Учитывая полученные выше неравенства 1<b₁<b, мы получаем противоречие условию, что b – наименьший положительный и отличный от единицы делитель числа a.

Теперь мы можем доказать, что простых чисел бесконечно много.

Теорема.

Простых чисел бесконечно много.

Доказательство.

Предположим, что это не так. То есть, предположим, что простых чисел всего n штук, и эти простые числа есть p₁, p₂, …, p_n. Покажем, что мы всегда можем найти простое число, отличное от указанных.

Рассмотрим число, p равное p₁·p₂·…·p_n+1. Понятно, что это число отлично от каждого из простых чисел p₁, p₂, …, p_n. Если число p — простое, то теорема доказана. Если же это число составное, то в силу предыдущей теоремы существует простой делитель этого числа (обозначим его p_n+1). Покажем, что этот делитель не совпадает ни с одним из чисел p₁, p₂, …, p_n.

Если бы это было не так, то по свойствам делимости произведение p₁·p₂·…·p_n делилось бы на p_n+1. Но на p_n+1 делится и число p, равное сумме p₁·p₂·…·p_n+1. Отсюда следует, что на p_n+1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равно единице, а это невозможно.

Так доказано, что всегда может быть найдено новое простое число, не заключающееся среди любого количества наперед заданных простых чисел. Следовательно, простых чисел бесконечно много.

Итак, в силу того, что простых чисел бесконечно много, при составлении таблиц простых чисел всегда ограничивают себя сверху каким-либо числом, обычно, 100, 1 000, 10 000 и т.д.

Биография[править | править код]

Сын Эглаоса, уроженец Кирены.

Начальное образование Эратосфен получил в Александрии под руководством своего учёного земляка Каллимаха. Другим учителем Эратосфена в Александрии был философ Лизний. Перебравшись затем в Афины, он так тесно сблизился со школой Платона, что обыкновенно называл себя платоником. Результатом изучения наук в этих двух центрах была энциклопедическая эрудиция Эратосфена; кроме сочинений по математическим наукам, он писал ещё трактаты «о добре и зле», о комедии и др. Из всех своих сочинений Эратосфен придавал особенное значение литературным и грамматическим, как это можно заключить из того, что он любил называть себя филологом.

В 245 году до н. э. царь Птолемей III Эвергет пригласил Эратосфена приехать из Афин, чтобы работать в Александрийской библиотеке, где уже трудились его учитель Каллимах и Аполлоний Родосский. Эратосфен откликнулся на приглашение, в возрасте около тридцати лет он приехал в Александрию, где и остался до самой смерти. Через пять лет после приезда он сменил Аполлония Родосского на посту главы Александрийской библиотеки. Как глава библиотеки, Эратосфен занимался обучением детей монарха — будущего правителя Птолемея IV и его сестры (а впоследствии и жены) Арсинои.

На посту главы библиотеки активно занимался её расширением и развитием, стремясь поддержать репутацию библиотеки в соперничестве с Пергамской библиотекой. По его просьбе александрийские портовые власти изымали все книги с приходящих кораблей для изучения и копирования. Эратосфен приобретал аутентичные копии трагедий великих греческих авторов — Эсхила, Софокла и Эврипида, а также учредил в библиотеке целый отдел, занимавшийся изучением творчества Гомера.

В старости у Эратосфена воспалились глаза, что в дальнейшем привело к слепоте. Невозможность читать и наблюдать за природой сильно угнетала его и в 194 год до н. э. он принял решение уморить себя голодом.

Отголоски признания обширной учёности Эратосфена звучат и в прозвищах, которые он получил от современников. Называя его «бета», они, по предположению многих исследователей, желали выразить свой взгляд на него, как на второго Платона, или вообще как на учёного, который только потому занимает второе место, что первое должно быть удержано за предками. Другим прозвищем Эратосфена было «пентатлос» (греч. Πένταθλος) — пятиборец, то есть всесторонне развитый человек, оно было ему дано за одарённость в самых разных областях знания.

В честь Эратосфена назван кратер на Луне, один из периодов геологической истории Луны, а также подводная гора в Средиземном море, близ Кипра.

Географические открытия

Эратосфен был очень увлечен географией. Следует начать с того, что сам термин «география» был создан именно Эратосфеном. С древнегреческого языка это определение можно перевести как «описание Земли». Киренский ученый настаивал, что Земля, как объект исследования, должна рассматриваться полностью, со всеми огромными пустошами, а не только те ее территориальные местности, которые уже были заселены людьми.

Одной из главных научных работ его жизни является большой трехтомный труд, имеющий название «География», посвященный детальному обзору опыта, приобретенного отважными мореплавателями и путешественникам, сумевшими побывать не только в других странах, но и на отдаленных континентах и отразивших это в своих докладах.

Также трехтомник содержит многочисленные математические расчеты, подтверждающие факт того, что Земля не стоит на трех слонах и черепахе, а является шарообразным космическим телом.

К другим достижениям Эратосфена в сферах географии и астрономии относят:

• Разработку темы пропорций и геометрических построений, без которых невозможно представить современный географический контурный атлас.
• Написание книги «Катастеризмы», в которой он собрал все известные науке созвездия и отдельные звезды, входящие в их границы, как класс небесных светил.
• Изобретение армиллярной сферы — инструмента, использующегося для установления экваториальных координат.
• Вычисление градуса угла, образованного пересечением тропика и экватора. Он считал, что соотношение этих географических явлений составляет 11 к 83 от 180 градусов.
• Предположение о том, что фактическая длительность светового дня на разных широтах может значительно колебаться.

Жизнь

Эратосфен, сын Аглаоса, родился в 276 г. до н.э. в Кирене . Теперь часть современной Ливии , Кирена была основана греками несколько веков назад и стала столицей Пентаполиса (Северная Африка) , страны , состоящей из пяти городов: Кирены, Арсинои , Береники , Птолемея и Аполлонии . Александр Великий завоевал Кирену в 332 г. до н.э., и после его смерти в 323 г. до н.э. ее правление перешло к одному из его полководцев, Птолемею I Сотеру , основателю Птолемеевского царства . При Птолемеях экономика процветала, в основном за счет экспорта лошадей и сильфия , растения, которое использовалось в качестве приправ и лекарств. Кирена стала местом культивирования, где расцветали знания. Как и любой молодой грек того времени, Эратосфен учился бы в местной гимназии , где он изучал бы физические навыки и социальный дискурс, а также чтение, письмо, арифметику, поэзию и музыку.

Эратосфен учение в Александрии по Бернардо Строцци (1635)

Эратосфен отправился в Афины для продолжения учебы. Там он преподавал стоицизму его основатель, Зенон из Citium , в философских лекциях о том, как вести добродетельную жизнь. Затем он учился у Аристо Хиосского , который руководил более циничной философской школой. Он также учился под руководством главы Платонической академии , которым был Аркесилай Питанский . Его интерес к Платону привел к тому, что он написал свою самую первую научную работу « Платоникос» , исследуя математические основы философии Платона. Эратосфен был человеком многих взглядов и исследовал искусство поэзии при Каллимахе . Он писал стихи: одно в гекзаметрах под названием « Гермес» , иллюстрирующее историю жизни бога; и другой в элегии , названный Эригон , описывающий самоубийство афинской девушки Эригоны (дочери Икария) . Он написал « Хронографии» — текст, в котором с научной точки зрения указаны важные даты, начиная с Троянской войны . Эта работа была высоко оценена за точность. Позже Георгию Синчеллу удалось сохранить из хронографий список 38 царей египетских Фив . Эратосфен также написал « Олимпийские победители» , хронологию победителей Олимпийских игр . Неизвестно, когда он писал свои произведения, но они подчеркнули его способности.

Эти произведения и его великие поэтические способности привели фараона Птолемея III Эвергета к поиску места его библиотекарем в Александрийской библиотеке в 245 году до нашей эры. Эратосфен, которому тогда было тридцать, принял приглашение Птолемея и отправился в Александрию, где прожил всю оставшуюся жизнь. Примерно через пять лет он стал главным библиотекарем — должность, которую ранее занимал поэт Аполлоний Родий . В качестве главы библиотеки Эратосфен обучал детей Птолемея, в том числе Птолемея IV Филопатора, который стал четвертым птолемеевым фараоном. Он расширил фонды библиотеки: в Александрии все книги нужно было сдавать для тиражирования. Было сказано, что они были скопированы настолько точно, что невозможно было сказать, вернула ли библиотека оригинал или копию. Он стремился сохранить репутацию Александрийской библиотеки, несмотря на конкуренцию со стороны Пергамской библиотеки . Эратосфен создал целый раздел, посвященный исследованию Гомера, и приобрел оригинальные произведения великих трагических драм Эсхила , Софокла и Еврипида .

Эратосфен внес несколько важных вкладов в математику и науку и был другом Архимеда . Около 255 г. до н.э. он изобрел армиллярную сферу . В О круговых движениях небесных тел , Клеомед приписывал ему рассчитав окружность Земли около 240 г. до н.э., с высокой точностью.

Эратосфен считал, что в каждой нации есть как хорошее, так и плохое, и критиковал Аристотеля за то, что он утверждал, что человечество разделено на греков и варваров , а также за то, что он утверждал, что греки должны сохранять свою расовую чистоту. В возрасте около 195 г. до н.э. он заболел офтальмией и ослеп. Утрата способности читать и наблюдать за природой мучила его и подавляла, заставляя добровольно морить себя голодом. Он умер в 194 г. до н.э. в возрасте 82 лет в Александрии.

Поиски длины экватора

Одной из задач, которая в особенности интересовала древнегреческого мастера географии, был вопрос поиска длины окружности Земли. За основу своей теории, приведшей к удивительным для того времени результатам, исследователь взял то, что города Александрия и Сиена (ныне Асуан) расположены на одном и том же меридиане. Киренский ученый наблюдал за отношением угла падения лучей, отбрасываемых небесным светилом в день летнего солнцестояния в двух этих населенных пунктах, к поверхности земли.

В своем исследовании математик и географ пользовался гномоном — специальным устройством, изобретенным другим древнегреческим ученым Анаксимандром Милетским и позволяющим с высокой точностью определить момент астрономического полдня.

Многолетние наблюдения за светом и тенью позволили Эратосфену вычислить необходимый угол падения солнечных лучей. На основании полученных данных и произведенных с ними расчетов он высказал предположение, что фактическое расстоянием между Александрией и Сиеной равняется 785 км.

Соотнеся полученное расстояние и значение угла 1 к 50, определенное при помощи гномона, древний математик и географ смог совершить прорыв, узнав примерную длину экватора Земли, которая, согласно его подсчетам, составила около 39250 км. Согласно современным высокоточным измерениям, длина экватора равняется 40120 км.

Это великое открытие не только перевернуло античную географию, но и позволило Эратосфену прославиться за пределами своего места нахождения. Благодаря полученным данным ученый смог вычислить радиус земного шара, довольно точно определить фактическое расстояние между населенными пунктами в пределах одного материка и узнать, как далеко находятся Африка и другие континенты. Такой вклад в развитие античных представлений об окружающем мире невозможно не оценить.

Переезд в Александрию и смерть

Эратосфен учит в Александрии (работа художника Бернардо Строцци, 1635)

Слава учёного начала бурно привлекать внимание некоторых известных людей, таких как Птолемей 3, именно он ему предложил переехать в Александрию. Учитель плотно занялся репетиторством философа и предложил ему работать директором в местной главной библиотеке

Учитель Птолемей не только был рад интересу юноши, но и приветствовал его политические взгляды. Когда Эратосфен начал руководить библиотекой, то достиг огромных успехов, которые пошли на пользу учёному. Книги, что самостоятельно читал и изучал Эратосфен, расширили его исследования и принесли славу.

Однако многие упрекали его за то, что он не желает специализироваться на одном предмете и хочет изучать всё. Но ему ничего не мешало воспользоваться положением, а именно руководство библиотекой и Эратосфен продолжал заниматься изучением математики, географии, поэзии и т.д.

Умер учёный в Александрии в 194 году до нашей эры, тогда ему было 82 года. До этого он потерял зрение, и ему пришлось нелегко в последние годы. Поэтому он совершил самоубийство.

Несмотря на то, что всю жизнь учёный любил получать знания в каждой из областей. Вклад в изучение Земли, ему принёс самый важный титул «Отец Географии».

Мне нравится2Не нравится

Реализация

Сразу приведём реализацию алгоритма:

int n;
vector<char> prime (n+1, true);
prime = prime1 = false;
for (int i=2; i<=n; ++i)
	if (primei)
		if (i * 1ll * i <= n)
			for (int j=i*i; j<=n; j+=i)
				primej = false;

Этот код сначала помечает все числа, кроме нуля и единицы, как простые, а затем начинает процесс отсеивания составных чисел. Для этого мы перебираем в цикле все числа от до , и, если текущее число простое, то помечаем все числа, кратные ему, как составные.

При этом мы начинаем идти от , поскольку все меньшие числа, кратные , обязательно имеют простой делитель меньше , а значит, все они уже были отсеяны раньше. (Но поскольку легко может переполнить тип , в коде перед вторым вложенным циклом делается дополнительная проверка с использованием типа .)

При такой реализации алгоритм потребляет памяти (что очевидно) и выполняет действий (это доказывается в следующем разделе).

Доказательство корректности

Докажем корректность алгоритма, т.е. что он корректно расставляет все значения , причём каждое из них будет установлено ровно один раз. Отсюда будет следовать, что алгоритм работает за линейное время — поскольку все остальные действия алгоритма, очевидно, работают за .

Для этого заметим, что у любого числа единственно представление такого вида:

где — (как и раньше) минимальный простой делитель числа , а число не имеет делителей, меньших , т.е.:

Теперь сравним это с тем, что делает наш алгоритм — он фактически для каждого перебирает все простые, на которые его можно домножить, т.е. простые до включительно, чтобы получить числа в указанном выше представлении.

Следовательно, алгоритм действительно пройдёт по каждому составному числу ровно один раз, поставив у него правильное значение .

Это означает корректность алгоритма и то, что он работает за линейное время.

Асимптотика

Докажем, что асимптотика алгоритма равна .

Итак, для каждого простого будет выполняться внутренний цикл, который совершит действий. Следовательно, нам нужно оценить следующую величину:

Вспомним здесь два известных факта: что число простых, меньше либо равных , приблизительно равно , и что -ое простое число приблизительно равно (это следует из первого утверждения). Тогда сумму можно записать таким образом:

Здесь мы выделили первое простое из суммы, поскольку при согласно приближению получится , что приведёт к делению на нуль.

Теперь оценим такую сумму с помощью интеграла от той же функции по от до (мы можем производить такое приближение, поскольку, фактически, сумма относится к интегралу как его приближение по формуле прямоугольников):

Первообразная для подынтегральной функции есть . Выполняя подстановку и убирая члены меньшего порядка, получаем:

Теперь, возвращаясь к первоначальной сумме, получаем её приближённую оценку:

что и требовалось доказать.

Более строгое доказательство (и дающее более точную оценку с точностью до константных множителей) можно найти в книге Hardy и Wright «An Introduction to the Theory of Numbers» (стр. 349).

Родоначальники географии

Эратосфен Киренский (276-194 гг. до н. э.) — древнегреческий математик, астроном и географ, основоположник географии как науки. Первым доказал,что Земля имеет форму шара

В древности каждый путешественник в сущности являлся первооткрывателем. Война, торговля, да и просто извечное человеческое любопытство побуждали минойцев, финикийцев и многие другие народы пускаться в опаснейшие плавания по морю или походы по суше. Две тысячи лет назад египтяне исследовали центральные области Африки, побережья Средиземного и Красного морей. Чуть менее тысячи лет назад в Древнем Китае перед постройкой крепости составлялись подробные карты местности, а в III веке до нашей эры китайцам уже был известен компас.

История сохранила для нас некоторые имена: Арриан, Страбон, Анаксимандр… Многие древнегреческие ученые внесли большой вклад в развитие географии. Но ее истинным родоначальником принято считать Эратосфена Киренского, который не только предположил, что Земля шарообразна, но и доказал это, применяя математические вычисления.

Географы древности:

• Гекатей (546480 гг. до н. э.) — составил «Землеописание» на основе береговых лоций
• Геродот (485425 гг. до н. э.) — путешествовал от Дона до порогов Нила. Путевые заметки легли в основу его знаменитой «Истории»
• Аристотель (384-322 гг. до н. э.) — основатель гидрологии, метеорологии и океанологии